Archimède, Fresnel et la cuve à bain de mercure.

Les deux grandes inventions d'Augustin Fresnel sont les optiques à échellons et la cuve à mercure.
Pour les optiques, il s'est basé sur les études de Georges-Louis Leclerc Buffon. Travail qu'il n'avait pas achevé mais il a compris comment y arriver.
Pour la cuve, il s'est basé sur les découvertes d'Archimède. Il s'est servi des principes pour inventer la cuve à mercure.
La cuve est décrite ici.
Un professeur de physique d'une haute école a refait les calculs de Fresnel. Mais avant, il rapelle les notions de physique, c'était son métier.

Un peu de physique.

Les unités du système international « S.I. » : MKSA

Ce système est utilisé partout même si, dans la pratique, on trouve aussi des gallons, inches, miles ...

Autres unités.

- surfaces : m, dm ...
La surface d’un cercle, ou aire d’un disque, se calcule par la formule : S = R.
La surface d’un anneau de rayons R et r, se calcule par la formule : S = (R- r), c’est-à-dire par soustraction de l’aire du disque de rayon r de celle du disque de rayon R.
- volumes : m, dm (1 dm = 1 L) ....
Le volume d’un cylindre se calcule par la formule : V = Rh, où R est le rayon du cylindre et h sa hauteur.
Le volume d’un cylindre creux de rayons R et r et de hauteur h, se calcule par la formule : V = (R– r) h, c’est-à-dire par soustraction du volume creux de celui du volume extérieur.

- masse volumique : c’est le rapport entre la masse contenue dans un volume V et ce volume. Il s’exprime en kg/m (kg.m) dans le S.I.

Il faut éviter d’utiliser la notion de densité, parfois notée rapport , de la masse volumique d’un liquide, à celle de l’eau. En effet, la masse volumique de l’eau pure évolue en fonction de la température (maximum à 4°C pour une masse volumique 999,98 SI).

C’est d’ailleurs ce comportement thermique qui était mis à profit, au siècle dernier, pour que l’eau des installations de chauffage central des immeubles circule dans les tuyaux : les pompes de circulation n’existaient pas mais l’eau et la gravité existaient !

- vitesse : v en m/s ou m.s. Le km/h est très utilisé.
On définit la vitesse instantanée et la vitesse moyenne. Cette dernière se calcule en divisant la distance parcourue D par la durée du temps t mise pour la parcourir : v = D/t.

Sur ce schéma, on voit la trajectoire suivie par un objet et, au point M, le vecteur vitesse instantanée . La flèche indique la direction de la trajectoire (la tangente à la courbe) et son module (= sa longueur évaluée, ici, grâce l’échelle). Un vecteur se définit donc par son module, nombre scalaire, et sa direction.

- accélération: c’est la mesure de la variation de la vitesse en fonction du temps.
On utilise très souvent l’accélération instantanée calculée en divisant la variation de la vitesse du mobile entre deux points très proches de sa trajectoire par la durée du temps mit pour parcourir la distance séparant ces deux points. Elle se mesure donc en mètre par seconde par seconde, ou m s. Cette accélération est vectorielle .

Ci contre, illustration simple sur une route horizontale : en M la vitesse est nulle, en M, elle vaut V, en M et en M, V. Entre 1 et 2, la vitesse est passée de 0 à V, entre 2 et 3, elle est passée de V à V, soit une augmentation de V = V - V (flèche rouge) et la vitesse est constante après 3. Si t, t, t et t sont les temps de passage en 1,2,3 et 4, l’accélération moyenne entre 1 et 2 vaut = V/ (t – t ). De même, = V/ (t – t) et = 0 !

- Masse et poids : la différence est importante mais est souvent source de confusion. Les unités MKSA sont des nombres (des scalaires). Donc la masse est un scalaire, mais le poids, lui, est un vecteur .
L’unité de poids (et de toute force) est, dans le S.I., le newton, noté N. Une force est caractérisée par son intensité exprimée en N, sa direction et son point d’application.

Exemple : Les premiers pas sur la Lune : le récit de l’AFP (21 juillet 1969) ... Les deux hommes, Amstrong et Aldrin, continuent leurs évolutions. Ils avancent avec une facilité étonnante, véritable pas de danse. Un étrange ballet se déroule sur la Lune. Leur lourd scaphandre, véritable cuirasse ignifugée, renforcée aux articulations, alourdie encore par le harnais fixé au dos, ne semble pas les gêner. Ils évoluent avec une légèreté et une mobilité surprenantes.

Le poids des astronautes était bien plus faible sur la lune que sur la terre : ils étaient plus légers là-haut que sur la terre, mais leur masse n’avait pas changé ! Une masse n’a pas le même poids sur la terre que sur la lune.
Ceci s’explique par l’action de la gravité sur la masse. Cette action est caractérisée par l’accélération de la pesanteur .
Le poids P de la masse m se calcule par  = m.
La valeur de vaut 9,81 m s sur la terre et 1,62 ms sur la lune soit environ, six fois moins.

Un peu d’histoire des sciences.

L'une des révolutions scientifiques les plus marquantes de l'histoire a été la « découverte » par Isaac Newton de la loi de gravitation universelle. Cette loi mathématique permet de calculer la force d'attraction entre les masses. Ainsi, on a pu comprendre et prédire de nombreux phénomènes naturels. Que l'on parle de la chute des corps ou du mouvement des planètes, la force d'attraction gravitationnelle reste au cœur de ces processus fascinants.

En 1687, Isaac Newton publia son œuvre monumentale « Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ». Dans cet ouvrage, il expose la loi de gravitation universelle, formule mathématique qui quantifie la force d'attraction gravitationnelle entre deux objets. Selon Newton, cette force est proportionnelle aux masses de ces objets et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

Ainsi : deux corps A et B séparés d’une distance « d » exercent l’un sur l’autre une force appelée gravitation universelle. La force de gravitation exercée au proche voisinage du sol d’une planète est appelée force de pesanteur ou poids.
La force de pesanteur est exercée par la Terre à distance.

La loi de la gravitation universelle, formulée par Isaac Newton en 1687, établit que deux corps massifs s’attirent mutuellement avec une force directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force d’attraction est exprimée par la formule suivante :
F = G × (mA x mB) / d
où F est la force gravitationnelle, G est la constante de gravitation universelle, mA et mB sont les masses des deux corps, d étant la distance qui les sépare.

La constante de gravitation universelle, notée G, est une valeur empirique qui a été mesurée avec une grande précision au fil des siècles. L’expérience la plus célèbre est celle réalisée par Henry Cavendish en 1798, qui a permis de déterminer la valeur de G avec une incertitude très faible.

Pour mesurer G, Cavendish a utilisé une balance de torsion, un dispositif expérimental sophistiqué qui permet de mesurer les forces de gravitation entre deux masses. En comparant la force gravitationnelle avec la force de torsion exercée par un fil de torsion, Cavendish a pu calculer la constante de gravitation universelle avec une grande précision.

La valeur de la constante gravitationnelle universelle (G) est de 6,674·10⁻¹¹ N.m²/kg².
Pour passer de la constante gravitationnelle G à l’accélération de la pesanteur g, on utilise la formule donnant la valeur du poids P correspondant à une masse m, P = mg = G m M / R, où MT est la masse de la Terre et RT son rayon. Par exemple, avec G = 6,674·10⁻¹¹ N.m/kg et MT = 5,972. 1024 kg et RT = 6,371 x 10 6 m, on obtient g ≈ 9,81 m/s.

Sur terre, comme sur toute autre planète, existe une gravité dont la valeur est spécifique (et dont l’origine n’est pas clairement comprise aujourd’hui).
Si le poids est représenté par un vecteur, c’est parce que tout corps situé sur la surface de la planète est attiré vers le centre de celle-ci.

L’unité de poids dans le S.I. est, comme déjà mentionné, le « newton », noté N. Une masse d’1 kg a, sur la terre, un poids de 1 x 9,81 = 9,81 N ().
Que d’endroits confus dans la vie courante : sur tout pont roulant, la « charge maximale d’utilisation (CMU) » doit être écrite en gros et exprimée en N, kN... 10 kN correspondent, environ, à une masse d’1 T. 
Pour éviter toute erreur, la CMU est souvent indiquée en daN (décanewton ou 10 N), car 1 daN correspond à une masse d’environ 1 kg. Les inscriptions sont trop souvent, à tort, exprimées en T. Cela entretient la confusion, mais qui n’achète pas un paquet d’1 kg de sucre ?

Ainsi, il n’est pas correct d’écrire que la cuve de mercure d’un phare doit faire flotter un poids de 10 T ! Jadis, pour éviter cette erreur, on parlait de kgp, ou kilogramme-poids. Cette unité n’est plus utilisée.

La pression et la force d’Archimède.

D’où vient l’atmosphère terrestre ?
Il y a 4,6 milliards d’années, lors de sa formation, la Terre n’est qu’un « bloc rocheux » en fusion entouré de gaz. C’est à cette période que naît l’atmosphère.
De 4,3 à 3,9 milliards d’années, l’atmosphère se modifie. La Terre est bombardée de météorites qui perforent sa surface. Les roches qui sont en fusion, dégagent du dioxyde de carbone (CO), du diazote (N) et de l’eau (HO). On parle d’atmosphère primitive. Sa composition évoluera lentement.

L'expérience de Torricelli, réalisée en 1643, a démontré l'existence de la pression atmosphérique et a permis de l'estimer à 760 mm Hg introduisant ainsi le millimètre de mercure comme unité de mesure de la pression.

Expérience : Un tube de verre de 1 m de longueur est rempli de mercure (Hg). Il est retourné sur une cuve contenant aussi du mercure, mais sans que de l’air y pénètre. Le mercure descend un peu dans le tube et sa surface horizontale se stabilise à une hauteur h de 761 mm au-dessus du niveau de la surface libre du mercure dans la cuve.

Evangelista Torricelli supposa, alors, que la présence de l’atmosphère sur la surface du bain de mercure était capable de contrebalancer la masse de mercure contenue dans le tube de verre. Ce fut l’origine de l’existence des baromètres qui mentionnent toujours cette unité « baroque ». L’air exerce une « pression » directement sur le mercure et la pression est la même dans le liquide au niveau de ce plan, y compris dans le tube.

La pression athmosphérique.
Jadis, au Palais de la Découverte édifié pour l’exposition universelle de Paris de 1937, se trouvait un tube de verre vertical rempli d’eau dont l’une des extrémités était fermée et l’autre, ouverte, baignait dans un réservoir d’eau. La colonne d’eau mesurait un peu plus de 10 mètres de hauteur. C’était une réplique de l’expérience de Torricelli avec de l’eau.

La pression en un point est définie, habituellement, comme l’intensité de la force qu'exerce un fluide (gaz ou liquide) par unité de surface. 
La surface de tout liquide au repos (appelée surface libre) est plane et horizontale
.

Le volume d’un liquide est constant (dilatation faible : thermomètre)

Pression dans un réservoir : sur ce schéma, la longueur des flèches est proportionnelle à la valeur de la pression à différents niveaux du fluide dans le réservoir. Sur la surface libre règne la pression atmosphérique considérée comme l’origine des pressions. Les flèches correspondent donc à une « surpression ».

La « surpression » se calcule par P = g h, où est la masse volumique du liquide, g l’accélération de la pesanteur et h la hauteur du fluide au point considéré. La pression est constante dans tout plan horizontal.
Lorsque l’on gonfle un pneu, la pression recommandée, 2,5 bar par exemple, représente une « surpression » par rapport à la pression extérieure.

Cas d’un récipient rempli d’eau : calcul de P =gh en S.I., = 1000 kg/m, g = 9,81 m/s et h = 10 m par exemple. On obtient P100000 Pa. 1 bar = 100000 Pa ou 1000 hPa.

Bien noter la notion de « pression hydrostatique » i.e due à l’eau au repos.

Force d’Archimède (287-212 av. J.-C.)

Archimède était conseiller auprès du Roi de Syracuse Hiéron II. Ce dernier avait commandé à un artisan local la réalisation d’une couronne en or pur, afin d’honorer Zeus ; il avait donc confié à l’orfèvre une certaine quantité du précieux métal.
Au bout de quelques jours, sa commande est honorée et le couvre-chef doré lui est remis cérémonieusement. Cependant, lorsque le tyran de Syracuse le reçut des mains de l’artisan, il suspecta une duperie.
Et si le joaillier y avait mélangé son or avec des métaux moins nobles afin de garder une partie de l’or pour lui ?
Devant cette interrogation, Hiéron II vint prendre conseil du jeune Archimède : le monarque le chargea alors de vérifier le contenu de la couronne, mais sans endommager l’objet précieux – scier ou faire fondre la couronne pourrait déclencher l’ire divine.

Archimède ne savait que faire. Mais un jour, aux bains publics, il observa ce qui se passait quand les personnes entraient dans la baignoire… et hurla aussitôt « Eurêka ! » (« J’ai trouvé » en grec). La légende retient qu’il sortit des bains publics et arpenta, entièrement nu, les rues de la ville de Syracuse en scandant cette formule à qui voulait bien l’entendre.
Il est très probable qu’Archimède se soit rendu compte qu’une certaine quantité d’eau débordait d’une baignoire bien remplie d’eau quand quelqu’un y entrait. Cela aurait pu le conduire à comprendre que le volume de l’eau ayant débordé était égal à celui de la partie immergée du corps.

Il commença donc par plonger dans une cuve remplie d’eau une quantité d’or équivalente à celle fournie par le monarque pour produire la couronne ; il mesura le volume d’eau ainsi déplacé, puis procéda de même avec la couronne qui lui avait été confiée.
A sa grande surprise, l’artéfact royal déplaça davantage de liquide : il était donc composé d’un autre matériau moins dense, à savoir l’argent (à l’époque, il était courant de faire des alliages or-argent). Archimède retourna auprès du roi Hiéron II et lui fit part de sa conclusion.

C’est la notion de « masse volumique » qu’Archimède aurait mise à profit.

Il n’est donc pas encore question de « force » ! Sur le dessin, la balance montre que la masse de la couronne et celle des lingots d’or pur sont égales.
Mais l’ensemble plongé dans l’eau montre que la couronne est plus légère que les lingots !
La couronne esr soumise à une force d’Archimède verticale plus grande que celle à laquelle les lingots sont soumis. Le volume de la couronne est donc supérieur à celui des lingots ...

Tout corps plongé dans un fluide au repos entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, est soumis à une force verticale dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé.

Ce fameux « théorème d’Archimède » peut aussi être illustré avec un verre rempli d’eau à ras bord dans lequel on met un glaçon.

Le glaçon a une masse volumique inférieure à celle de l’eau liquide. Il flotte mais son volume immergé Vim déplace une quantité d’eau dont le poids est égal celui du glaçon : le glaçon flottant est soumis à une force égale et opposée à son poids.
Quand le glaçon fond, il n’y a pas de modification du niveau d’eau dans le verre.
Masse volumique du glaçon, glaçon = 0,917 g.cm et eau liquide 1 g.cm.

Origine de la force d’Archimède
La figure montre que, dans un récipient rempli de liquide, la pression augmente avec la profondeur.
La pression est une force par unité de surface (exprimée en N.m ou Pa, pascal). Si un objet plongé dans le récipient y reste en équilibre, c’est parce qu’il est soumis à un système de forces dont celles agissant sur la partie basse de l’objet ont une intensité supérieure à celles agissant plus haut.

Exemple d’un sous-marin totalement immergé :
Sur cet hexagone, les flèches rouges représentant la pression, ont une longueur croissant avec la profondeur.
La pression de l’eau s’exerce tout autour de la coque du sous-marin mais cette force est variable en intensité.
Elle est perpendiculaire à la surface sur laquelle elle agit. La partie inférieure du sous-marin est soumise à une plus forte pression que la partie supérieure car la pression hydrostatique au niveau du bas de la coque est la plus importante.

- Les deux forces rouges agissant sur les surfaces du haut de l’hexagone ont une résultante stylisée en vert, sur la gauche. Elle est verticale dirigée vers le bas.
- Les quatres forces obliques figurées en rouges ont pour résultante la force verticale jaune dirigée vers le haut.
- Les deux forces rouges agissant sur les faces du bas de l’hexagone, ont une résultante stylisée en vert sur la droite. Elle est verticale dirigée vers le haut.
- Les deux forces verticales vertes ont comme résultante la force jaune, force verticale dirigée du bas en haut.

C’est la poussée d’Archimède.
Immergé, un sous-marin subit une poussée d’Archimède qui est constante quelle que soit la profondeur où il se trouve : sa surface extérieure, en principe, et donc son volume, sont constants.
Un sous-marin navigue en surface quand son poids est inférieur à la poussée d’Archimède qu’il subirait en plongée.
Pour plonger, ses ballasts qui sont vides quand il navigue en surface, sont remplis d’eau. Son poids devient alors supérieur (ou égal) à la poussée d’Archimède. Il plonge donc.
Si aucun phénomène n’intervient, le sous-marin s’enfoncera, lentement mais sûrement, dans les profondeurs jusqu’à ce que l’augmentation inéluctable de la pression ne le fasse imploser !
Son mouvement ainsi que la présence « d’ailerons », génèrent une force de « portance » verticale salvatrice. Le pilotage d’un sous-marin est délicat ...

Conclusions

Le mercure est représenté en bleu.

Cuve du Créac'h, en bleu le niveau du mercure sous les flotteurs.
En rouge , le mercure entre les flotteurs et la cuve.

Méthodologie pour calculer la force d’Archimède faisant flotter le système tournant support des lentilles de Fresnel du phare du Creac’h dont le poids serait 200000 N ou 200 kN.
Lu dans l’AMi (ministère de la Pêche et de la mer) : L’optique, d’un poids de 17 tonnes... sic

- Estimer, à partir du croquis disponible, les deux rayons de l’intérieur de la cuve ainsi que sa hauteur (valeurs exprimées en m ou dm)
- Calculer la surface de la base du flotteur
- Multiplier cette surface par la pression hydrostatique régnant sous le flotteur (Ph = gh, masse volumique du mercure x g accélération de la pesanteur x h hauteur du mercure) et ce, en S.I., pour obtenir le poids maximum que peut faire flotter la cuve précédemment définie.

Calcul de la pression du mercure sous le flotteur :
On trouve, avec masse volumique du mercure  Hg = 13600 kg/m, g = 9,81 m/s et h = 0,4 m (valeur estimée pour le phare du Creac’h) : P = gh = 13600 x 9,81 x 0,4 = 53366 kg/m s ou 53366 Pa.
Calcul de la force d’Archimède : si la surface S (valeur estimée) était de 3,75 m, la force d’Archimède, et donc le poids pouvant flotter, serait de P. S = 53366 x 3,75 =200124N. La masse correspondant à ce poids est de 20,4 T.

- A partir des cotes disponibles, et notamment du jeu entre cuve et flotteur, calculer le volume de mercure contenu dans la cuve et donc son poids.

Ci-dessus, photos du phare d’Ouessant, construction adossée au Palais de « la lumière et de l’électricité » lors de l’exposition internationale de Paris en 1937. Son optique était identique à celle installée, en 1939, au phare du Creac’h.

Remerciements.

Je remercie Monsieur Yves Vandenboomgaerde ancien professeur de physique et de mécanique des fluides à l’Ecole Centrale Paris.
Sa démonsration pédagogique et ses calculs montrent qu' Augustin Fresnel avait bien compris et appliqué les lois d'Archimède.